网格上保持连通性的高效变换研究

我们考虑一个由位于二维正方形网格上的$n$个设备组成的离散系统，形成初始连通形状$S_I$。每个设备装备有线性力机制，使其能在单个时间步内移动整条连续设备线。我们研究通过有限序列的\emph{线移动}将$S_I$变换为给定相同设备数的连通目标形状$S_F$的问题。我们的重点是设计\emph{集中式}变换，旨在\emph{最小化总移动次数}，同时约束在整个变换过程中\emph{保持形状的连通性}。我们首先针对$S_I$和$S_F$的\emph{关联图}同构于哈密顿线的情况，给出极快的保持连通性变换。特别地，我们的变换进行$O(n \log n)$次移动，渐近等于已知的破坏连通性变换的最佳运行时间。我们最一般的结果是一个保持连通性的\emph{通用变换}，可通过$O(n\sqrt{n})$次移动序列将任意初始连通形状$S_I$变换为任意目标连通形状$S_F$。最后，我们对两类受限变换集合建立了$\Omega(n \log n)$下界。这是该模型的首个下界，且与已知的$O(n \log n)$上界相匹配。