通过旋转实现集中式保连通性变换：适用于所有正交凸形状的三剑客方法

我们研究了一个由 $n$ 个位于二维方形网格上的设备组成的可编程物质系统模型，这些设备能够执行相互旋转的最小机械操作。目标是将初始形状 A 变换为目标形状 B。我们感兴趣的是，在始终保持全局连通性的额外约束下，刻画在此场景中可以相互变换的形状类别。这是 $[$Michail 等人，JCSS'19$]$ 留下的主要未解决问题之一。请注意，所考虑的问题是变换的结构可行性，我们仅通过集中式构造性证明来处理。分布式解决方案留待未来工作，并构成了一个有趣的研究方向。过去的工作在特殊类别的良好形状上取得了一些进展。我们在此考虑正交凸形状的类别，其中对于网格上水平或垂直线上的任意两个节点 $u, v$，$u$ 和 $v$ 之间没有空单元格。我们开发了一种通用的集中式变换，并证明，对于任意一对颜色一致的正交凸形状 $A$、$B$，它可以将 $A$ 变换为 $B$。鉴于所考虑类别中存在阻塞形状，我们使用一个最小的 3 节点种子来触发变换。我们变换的运行时间是最优的 $O(n^2)$ 顺序移动，其中 $n=|A|=|B|$。我们将是否存在一种带有小种子的通用连通性保持变换留作一个开放问题。我们相信，本文开发的技术可能对回答这个问题有用。