论可编程物质可行机制的变换能力

本文研究可编程物质系统的理论模型。所考虑的系统由球形模块组成，通过磁力保持在一起，并能执行两种最小机械操作（或运动）：绕相邻模块旋转和沿直线滑动。在建模方面，有 n 个节点排列在二维网格中，形成某种初始形状。目标是通过一系列运动使初始形状 A 变换为某个目标形状 B。本文主要关注可变换性问题，即原则上是否可行地将一个给定形状变换为另一个。我们首先考虑节点仅能旋转的情况。我们的主要结果是，判定两个给定形状 A 和 B 能否相互变换的问题属于 P 类。随后我们仍坚持仅旋转操作，并施加节点在整个变换过程中必须保持全局连通性的限制。我们证明相应的可变换性问题属于 PSPACE 类，并研究了确定能使原本不可行的变换变得可行的最小种子数的问题。接下来，我们同时允许旋转和滑动，并证明了普适性：任意两个相同阶数的连通形状 A、B，都可以在不破坏连通性的情况下相互变换。通用策略在最坏情况下的运动次数为 Ω(n²)。我们通过流水线策略将其改进为 O(n) 并行时间，并通过匹配的下界证明了两者的最优性。在本文的最后部分，我们将注意力转向分布式变换。节点现在是能够执行通信-计算-移动轮次的分布式进程。我们为一般类型的变换提供了分布式算法。