论某些退化随机微分方程的 Davie 唯一性

我们考虑如下奇异随机微分方程（SDE）：\begin{equation} \label{ss} dX_t = b(t, X_t) dt + A X_t dt + \sigma(t) d{L}_t , \;\; t \in [0,T], \;\; X_0 =x \in {\mathbb R}^n, \end{equation} 其中 $A$ 为实 $n \times n$ 矩阵，即 $A \in {{\mathbb R}}^n \otimes {{\mathbb R}}^n$，$b$ 有界且 Hölder 连续，$\sigma : [0,\infty) \to {{\mathbb R}}^n \otimes {{\mathbb R}}^d$ 为局部有界函数，$L= ({L}_t)$ 为 ${\mathbb R}^d$ 值 Lévy 过程，$1 \le d \le n$。我们证明强存在唯一性以及对初始条件 $x$ 的 $L^p$-Lipschitz 依赖性共同蕴含 Davie 唯一性（或称路径逐路径唯一性）。这推广了 [E. Priola, AIHP, 2018] 在 $n=d$、$A=0$ 且 $\sigma(t) \equiv I$ 时所证之结果。我们将该结果应用于与动力学输运算子 $\frac{1}{2} \triangle_v f +$ ${v \cdot \partial_{x}f}$ $+F(x,v)\cdot \partial_{v}f$ 相关的某些奇异退化 SDE，其中 $n =2d$ 且 $L$ 为 ${{\mathbb R}}^d$ 值 Wiener 过程。对此类方程，在 $b$ 的 Hölder 型条件下强存在唯一性已知成立。我们证明此外 Davie 唯一性也成立。