论 $\eta'$ 势中的尖点

QCD 的大 $N$ 分析表明，$\eta'$ 介子的势在 $\eta' = \pi / N_f$, $3 \pi /N_f$, $\cdots$ 处会出现尖点，其中 $N_f$ 为味数。此外，近期关于广义反常的讨论告诉我们，即使对于有限的 $N$，如果 $N$ 和 $N_f$ 不互素，也应该存在尖点，因为可以证明 $\eta'$ 的畴壁构型应该在其上支持 Chern-Simons 理论，即畴不是平滑连接的。另一方面，对 $N_f= N-1$、$N$ 和 $N+1$ 的软破缺超对称 QCD 的分析为 $\eta'$ 的类瞬子平滑势提供了支持性论据。我们论证 $N_f = N$ 情况的分析应受上述反常论证的约束，因此应该存在尖点；而 $N_f = N \pm 1$ 的情况是一致的，因为 $N_f$ 和 $N$ 互素。我们讨论了如何理解这种尖点/平滑转变。对于 $N_f< N$，我们发现 $\eta'$ 势的分支数为 $\operatorname{gcd}(N,N_f)$，这是反常所允许的最小数量。我们还讨论了类 QCD 理论中 s-confinement 的条件，并发现通常 $\theta$ 周期性的反常匹配表明，s-confinement 只有在 $N_f$ 和 $N$ 互素时才可能发生。$N_f = N+1$ 时超对称 QCD 中的 s-confinement 是一个著名的例子，并且该论证可推广至伴随表示中任意数量的费米子。