关于至多三个权重的加权射影线的簇范畴

设 $\mathbb{X}$ 为加权射影线，$\mathcal{C}_\mathbb{X}$ 为相应的簇范畴。已知 $\mathcal{C}_\mathbb{X}$ 可实现为带势箭图的广义簇范畴。在本注记中，在 $\mathbb{X}$ 至多有三个权重或为管型的假设下，我们证明若 Jacobi 有限非退化带势箭图 $(Q,W)$ 的广义簇范畴 $\mathcal{C}_{(Q,W)}$ 与 $\mathcal{C}_\mathbb{X}$ 共享一个 $2$-CY 倾斜代数，则 $\mathcal{C}_{(Q,W)}$ 三角等价于 $\mathcal{C}_\mathbb{X}$。作为推论，在 $\mathbb{X}$ 至多有三个权重时，$\mathcal{C}_\mathbb{X}$ 的 $2$-CY 倾斜代数由其箭图决定。为此，对任意至多三个权重的加权射影线 $\mathbb{X}$，我们也通过 Buan-Iyama-Reiten-Scott 由预射影代数构造 $2$-CY 范畴的方法得到了 $\mathcal{C}_\mathbb{X}$ 的一个实现。