关于 $\Z_{p^r}$ 上卷积码及其编码器的灾难性

本文研究了 $\mathbb{Z}_{p^r}$ 上卷积码的最小 $p$-编码器的存在性，其中 $p$ 为素数。这回应了 \cite{k} 中的一个猜想，该猜想提出每个此类码都存在最小 $p$-编码器，这意味着当输入序列限制为系数取自 $\{0, \dots, p-1\}$ 时，$\mathbb{Z}_{p^r}$ 上的所有卷积码均是非灾难性的。我们的贡献包括引入了一个表征自由码的新多项式不变量，这使我们能够建立 $\mathbb{Z}_{p^r}$ 上自由码在通常意义下（即输入系数取自 $\mathbb{Z}_{p^r}$）为非灾难性的充分必要条件。基于这些发现，我们通过提供一种构造性方法来获取 $\mathbb{Z}_{p^r}$ 上任意卷积码的最小 $p$-编码器，从而证实了该猜想。