关于上下数的算术与渐近性质

令 $\sigma=(\sigma_1,..., \sigma_N)$，其中 $\sigma_i =\pm 1$，并令 $C(\sigma)$ 表示 $1,2,..., N+1$ 的置换 $\pi$ 的个数，满足对 $i=1,...,N$ 有上-下符号 $\mathrm{sign}(\pi(i+1)-\pi(i))=\sigma_i$。我们证明所有上下数 $C(\sigma)$ 的集合可由一个单一通用多项式 $\Phi$ 表示，其系数是双曲正切函数泰勒级数中数字的乘积。我们证明 $\Phi$ 是一个修正指数函数，并推导出对于固定 $N$ 的所有数 $C(\sigma)$ 集合的一些显著同余性质。我们证明 $C(\sigma)$ 的一个简洁上界，它描述了在极限 $C(\sigma) \ll (N+1)!$ 下上下函数 $C(\sigma)$ 的渐近行为。