关于 Galligo 定理的一个推广:涉及 Hilbert 概形上 Borel 不动点的情形

给定一个理想 $I$ 和一个对单项作偏序的权向量 $w$,我们可以考虑具有相同 Hilbert 函数的初始理想 $\init_w (I)$。一个著名的构造通过 $\GL_{n+1}$ 的一参数子群实现这一点,该子群可视为相应 Hilbert 概形上的一条曲线。Galligo \cite{galligo} 证明:若 $I$ 处于一般坐标中,且 $w$ 在大到足够次数之前诱导一个单项序,则 $\init_w(I)$ 在上三角矩阵 Borel 子群的作用之下不动。我们证明该路径在 Hilbert 概形上趋近此 Borel 不动点的方向同样也是 Borel 不动的。