广义 Richardson 外推过程的向量化版本

令 $\{\xx_m\}$ 为满足 $$\xx_m\sim \sss+\sum^\infty_{i=1}\alpha_i \gg_i(m)\quad\text{当 $m\to\infty$ 时}$$ 的向量序列，其中 $\sss$ 为 $\{\xx_m\}$ 的极限或反极限（antilimit），且 $\{\gg_i(m)\}^\infty_{i=1}$ 为当 $m\to\infty$ 时的渐近尺度，即 $$\lim_{m\to\infty}\frac{\|\gg_{i+1}(m)\|}{\|\gg_{i}(m)\|}=0,\quad i=1,2,\ldots.$$ 向量序列 $\{\gg_i(m)\}^\infty_{m=0}$（$i=1,2,\ldots$）以及 $\{\xx_m\}$ 已知。本文分析了广义 Richardson 外推过程的向量化版本的收敛性与收敛加速性质，该过程由以下方程定义： $$\sum^k_{i=1}\braket{\yy,\Delta\gg_{i}(m)}\widetilde{\alpha}_i=\braket{\yy,\Delta\xx_m},\quad n\leq m\leq n+k-1;\quad \sss_{n,k}=\xx_n+\sum^k_{i=1}\widetilde{\alpha}_i\gg_{i}(n),$$ 其中 $\sss_{n,k}$ 为 $\sss$ 的逼近。此处 $\yy$ 为某非零向量，$\braket{\cdot\,,\cdot}$ 为内积，满足 $\braket{\alpha\aaa,\beta\bb}=\bar{\alpha}\beta\braket{\aaa,\bb}$，且 $\Delta\xx_m=\xx_{m+1}-~\xx_m$，$\Delta\gg_i(m)=\gg_i(m+1)-\gg_i(m)$。通过对 $\gg_i(m)$ 施加最少数量的合理附加条件，我们证明了误差 $\sss_{n,k}-\sss$ 当 $n\to\infty$ 时具有完整的渐近展开。我们还证明了实际发生了收敛加速，并给出了其完整分类。