关于Flory模型的一个变体

我们考虑近期引入的定居规划问题的一个一维变体，其中房屋可建于矩形整数格点的有限部分上，并须满足关于其所受日照量的特定要求。在我们的模型中，每栋房屋占据 $1 \times n$ 条带上的一个单位正方形，限制条件为相邻正方形中至少有一个必须为空。我们主要关注无法进一步建造的情形，即条带中房屋的最大构型。我们将该问题重新解释为路径图中顶点的受限填充问题，然后应用转移矩阵方法，以计算按房屋数量枚举给定长度所有最大构型的序列的二元生成函数。这使我们能确定枚举序列的渐近行为并计算一些有趣的统计量。在此过程中，我们建立了最大构型与其他几类组合对象（包括受限排列与某些小有向图上的游走）之间的紧密联系。所有情形均给出组合证明。随后我们通过考虑多层房屋、改变日照限制以及考虑宽度为2和3的条带，在多个方向上推广了结果。最后我们评论了若干未来研究的可能方向。