弱拟随机3-一致超图中的Turán问题

$3$-uniform 超图的极值问题已知非常困难，且尽管付出了相当大努力，进展仍缓慢。我们建议在拟随机超图背景下对极值问题进行更系统的研究。我们称一个 $3$-uniform hypergraph $H=(V,E)$ 是弱 $(d,\eta)$-quasirandom 的，如果对于任意子集 $U\subseteq V$，$H$ 中包含于 $U$ 的超边数量位于区间 $d\binom{|U|}{3}\pm\eta|V|^3$ 内。我们证明，对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $\eta>0$，使得每个足够大的弱 $(1/4+\varepsilon,\eta)$-quasirandom 超图包含四个顶点，其张成至少三条超边。这由 Erd\H{o}s 和 S\'os 猜想，且已知密度 $1/4$ 是最优的。最近，Glebov、Kr\'al' 和 Volec 基于旗代数方法给出了这一结果的计算机辅助证明。与他们的研究相反，我们此处给出的证明基于超图的正则方法，且不需要繁重计算。此外，我们得到了该结果的一个有序版本。我们的证明方法使我们能够以更系统的方式研究此类极值问题，并在此讨论了一些扩展和开放问题。