关于 Ramachandra 问题及有界系数狄利克雷多项式对函数的逼近

我们证明了关于函数何时能被有界系数的狄利克雷多项式逼近的有效结果。假设 $\Phi(n)$ 是一个递增函数，我们证明多项式集合 {\sum_{n=2}^N a_n n^{it-1}: N \geq 2, |a_n| \leq \Phi(n)} 在 $L^2(0,H)$ 中稠密，当且仅当 $\sum_{n=2}^\infty \frac{\log \Phi(n)} {n \log^2 n} = \infty$。我们还证明了该结果对于广义狄利克雷多项式的变体。主要工具是与拟解析性相关的 Paley 和 Wiener 定理以及 Pechersky 重排定理。我们利用此结果给出了 Ramachandra 猜想成立与不成立的精确条件。我们证明，只要 $\Phi(n)$ 是正递增函数，则 $\lim_{N \to \infty} \min_{|a_n| \leq \Phi(n)} \int_0^H \abs{1+\sum_{n=2}^N a_n n^{it-1}}^2 dt =0$，当且仅当上述级数发散。这对接近 Re(s)=1 的短区间内 Riemann zeta 函数矩的下界，以及 zeta 函数在其收敛横坐标上及附近的普适性问题具有应用价值。