关于互惠矩阵延拓的猜想

设 $A$ 为秩为 $n$ 的互惠矩阵，$w$ 为其 Perron 特征向量。为论证 $w$ 对 $A$ 的效率，我们研究与 $A$ 和 $w$ 关联的某种有向图的强连通性。若将矩阵 $A$ 从秩为 $n+1$ 的互惠矩阵 $B$ 中删除最后一行和一列，则 $B$ 为 $A$ 的延拓。我们证明，不存在一种互惠矩阵的延拓，其关联的有向图及其 Perron 特征向量存在源，正如 Furtado 和 Johnson 在《Efficiency analysis for the Perron vector of a reciprocal matrix》中所 conjectures 的那样。作为应用，考虑 $n\geq 5$ 时，$A$ 是由一致矩阵经过扰动四个主对角线以上条目 $x,y,z,a$ 及其对应的互惠条目而得到的矩阵，且存在一个大小为 $2$ 的子矩阵包含这四个扰动条目且不包含对角条目，我们描述了 $x,y,z,a$ 之间的关系，使得 $A$ 始终具有高效的 Perron 特征向量。