关于 Kolmogorov 复杂度中的一个条件不等式及其在通信复杂度中的应用

Romashchenko 与 Zimand~\cite{rom-zim:c:mutualinfo} 已证明,若将 $n$ 位字符串对 $(x,y)$ 的集合划分为组合矩形,则 $I(x:y) \geq I(x:y \mid t(x,y)) - O(\log n)$,其中 $I$ 表示 Kolmogorov 复杂度意义下的互信息,$t(x,y)$ 为包含 $(x,y)$ 的矩形。我们观察到该不等式可推广到可能重叠的矩形覆盖。新不等式本质上表明,在组合矩形覆盖的情形下,$I(x:y) \geq I(x:y \mid t(x,y)) - \log \rho - O(\log n)$,其中 $t(x,y)$ 为任意包含 $(x,y)$ 的矩形,$\rho$ 为覆盖的厚度,即重叠矩形的最大数量。我们讨论了其在非确定性、随机性或 Arthur-Merlin 协议通信复杂度以及交互协议信息复杂度中的应用。