Rényi 信息复杂性与划分界的信息论刻画

我们引入了一种针对两方函数的新的信息论复杂性度量 $IC_\infty$，它是通信复杂度的下界，并且将两个主要的通信复杂度下界作为其自然的松弛：(外部)信息复杂度 ($IC$) 和划分复杂度的对数 ($\text{prt}$)，这两者迄今为止在概念上显得彼此颇为不同。$IC_\infty$ 是一种基于无穷阶 Rényi 互信息的外部信息复杂度度量。在 $IC_\infty$ 的定义中，将 Rényi 互信息的阶从无穷松弛到 1 即得到 $IC$，而 $\log \text{prt}$ 是通过用我们所称的“伪转录本”替换协议转录本来获得的，伪转录本忽略了协议的交互性质，仅要求给定两方的输入 $x$ 和 $y$ 时任何转录本的概率分解为分别依赖于 $x$ 和 $y$ 的两项之积。进一步理解 $IC_\infty$ 可能对通信复杂度中重要的直接和问题产生影响，因为它位于通信复杂度和信息复杂度之间。我们还表明，将上述两种松弛同时应用于 $IC_\infty$ 会得到一种复杂度度量，该度量以下界为（对数）松弛划分复杂度，后者是 Kerenidis 等人 (FOCS 2012) 引入的复杂度度量。我们获得了比 Kerenidis 等人更紧密的（外部）信息复杂度与松弛划分复杂度之间的联系，使用了可说是更直接的证明。