关于诺特环的某种 Krull 对称性

在本注记中，我们证明：若诺特环 $R$ 既是左 Krull 齐次又是右 Krull 齐次的，且令 $\Lambda = \{P \in \text{spec}.R \mid |R/P|_r = |R|_r\}$，$V = \{Q_j \in \text{spec}.R \mid |R/Q_j|_l = |R|_l\}$，并设 $P = \bigcap_{P \in \Lambda} P$ 且 $Q = \bigcap_{Q_j \in V} Q_j$，则以下结论成立：(1) 对某个整数 $n \geq 1$，有 $P^n = 0$；(2) $\Lambda = V$。