优化不规则湍流流动统计稳态时间平均值的在线梯度流方法

湍流流动是混沌且不可稳的，但其统计分布收敛于统计稳态。工程中感兴趣的量通常形式为时间平均统计量 $\frac{1}{t} \int_0^t f ( u(x,\tau; \theta) ) d\tau \overset{t \rightarrow \infty}{\rightarrow} F(x; \theta)$，其中 $u(x,t; \theta)$ 为粘性性声方程的解，参数为 $\theta$。对 $F(x; \theta)$ 进行优化在几何优化、流控和闭合建模等众多工程应用中具有重要意义。然而，这仍是一个开放性挑战，因为现有计算方法无法扩展到物理上具有代表性的网格点数量。根本性障碍是湍流流动的混沌性：随着 $t \rightarrow \infty$，使用伴随方法计算的梯度会指数级发散。我们发展了一种新的在线梯度流(OGF)方法，可扩展至大规模自由度系统，使能够优化混沌、不可稳、湍流分辨率仿真的稳态统计。该方法在前向传播过程中实时估计算作 $F(x; \theta)$ 的梯度，同时对参数 $\theta$ 进行在线更新。其关键特征是算法的完全在线性，以加快优化进度，并结合有限差分估计器以避免因混沌性导致的梯度发散。针对三个混沌常微分方程和偏微分方程： Lorenz-63 方程、Kuramoto--Sivashinsky 方程以及可压缩、受控、各向同性湍流的粘性性声方程，证明了该 OGF 方法成功将基于 $F(x; \theta)$ 的损失降低多个数量级，并准确恢复最优参数。