小独立数弦圆弧图的障碍
离散数学
2012-10-23 v1 组合数学
摘要
阻塞四元组 (blocking quadruple, BQ) 是指图中的一个四顶点组，其中任意两个顶点要么在连接其余两个顶点的某条路径上没有邻居（即不邻接该路径上的任何顶点），要么由一条被其余两个顶点所不邻接的路径连接。这类似于 Lekkerkerker 和 Boland 在区间图的经典刻画中使用的星形三元组 (asteroidal triple) 概念。我们证明了圆弧图不可能包含阻塞四元组。我们还观察到，一般情况下，不存在阻塞四元组并不足以保证一个图是圆弧图。尽管如此，可以证明对于某些特殊类别的图（如 Bonomo 等人研究的图类），这一条件是充分的。本文聚焦于弦图，研究弦图的结构与阻塞四元组的有无之间的关系。我们的贡献主要有两点：首先，我们给出了不含阻塞四元组的弦图的禁止导出子图刻画；特别地，我们观察到所有禁止子图均为区间图禁止子图的变体。其次，我们证明了对于不含大小为五的独立集的弦图，不存在阻塞四元组足以保证其为圆弧图。在证明中，我们采用了一种新颖的几何方法，通过遍历精心选择的团树 (clique tree) 来构建圆弧表示。
引用
@article{arxiv.1210.5701,
title = {Obstructions to chordal circular-arc graphs of small independence number},
author = {Mathew Francis and Pavol Hell and Juraj Stacho},
journal= {arXiv preprint arXiv:1210.5701},
year = {2012}
}