阻滞论与计数群同态构型的复杂性

固定一个有限群 G。我们研究以下计数问题的计算复杂性：给定群 Γ，计数从 Γ 到 G的所有同态构型的数量。我们的第一个结果表明，当 G 为非阿贝尔群且 Γ 通过有限演示法给出时，该问题为 #P 难。我们给出了若干改进，表明这一难度结论对满足各种承诺条件的受限 Γ 仍然成立。我们的第二个结果表明，如果 G 为 class 2 幂零群且 Γ = π₁(M³) 对于某个输入 3 维流形三角剖分 M³ 的 |H²(M,Z(G))| 有上界，那么存在多项式时间算法计算从 Γ 到 G 的同态构型数量。该算法部分归因于 3 流形距离作为 Eilenberg-MacLane 空间足以接近，以便利用给定的三角剖分有效地解决必要的群类本 cohomology 阻滞问题。类似的多项式时间算法用于计数映射到有限、class 2 幂零 G 的数量，当 Γ 本身是一个通过乘法表编码的有限群时，只要 |H²(Γ,Z(G))| 类似地受到上界限制。