二维和三维非均匀介质中弹性波局域化的数值模拟

本文通过广泛的数值模拟，研究了拉梅系数（剪切模量和体积模量）随机分布的二维 (2D) 和三维 (3D) 介质中的弹性波局域化现象。我们利用传递矩阵法计算了最小正李雅普诺夫指数 $\gamma$（即局域化长度的倒数）的频率依赖性，利用力振子法计算了态密度，并分析了介体的能级统计。结果表明，在所考虑的无序宽度和最低频率范围内，2D 介质中的所有态均可能处于局域化状态，尽管数值结果也暗示可能存在一个允许频率的小范围，其中可能存在迁移率边。然而，在 3D 介质中，大多数态是扩展态，只有频谱上部带尾的一小部分包含局域态，即使拉梅系数是随机分布的。因此，3D 非均匀介质仍然存在迁移率边。如果在 3D 介质中两个拉梅系数都在空间上变化，则局域化长度 $\Lambda$ 在迁移率边附近遵循幂律 $\Lambda\sim(\Omega-\Omega_c)^{-\nu}$，其中 $\Omega_c$ 为临界频率。数值模拟得出 $\nu \simeq 1.89\pm 0.17$，显著大于数值估计值 $\nu\simeq 1.57\pm 0.01$ 以及最近通过半经典理论推导出的 3D Anderson 电子局域化模型的值 $\nu=3/2$。