从终端测量数值恢复扩散方程中的扩散系数

本文研究了一种从给定终端数据恢复扩散方程中空间依赖性扩散系数的数值方法，并对该方法进行严格的数值分析。通过利用观测随时间的衰减行为，我们建立了针对大型终端时间 $T$ 的一种新型 Hölder 类型稳定性估计。此结果通过解的（分数）时间导数的新型衰减估计得以实现。为数值恢复扩散系数，我们采用标准的输出最小二乘形式并加入 $H^1(\Omega)$ 半范数惩罚项，通过以空间连续分片线性有限元和时间后向 Euler 卷积 quadrature 的 Galerkin 有限元方法离散化求解。进一步，我们提供了离散近似的误差分析，并证明收敛率匹配稳定性估计。导出的 $L^2(\Omega)$ 误差界明确依赖于噪声水平、正则化参数及离散化参数(s)，这为在实际实现中根据噪声水平选择离散化参数提供了有用的指导。误差分析通过条件稳定性 argument 和离散最大范数 resolvent 估计实现。最后给出若干数值实验以说明和补充理论分析。