超越辛积分器的准周期解数值构造

辛积分器因其保持几何结构，已成为近可积哈密顿系统长期模拟的既定标准。然而，它们存在一个固有局限：长期相位漂移误差。虽然不变环面的定性“形状”得以保留，但数值解会沿环面逐渐漂移，导致相位滞后累积，从而降低长期位置精度。受最初为无穷维系统开发的解析工具 Craig-Wayne-Bourgain (CWB) 格式的启发，我们引入了一种数值算子，将频率更新纳入增广维数的牛顿迭代中，以计算准周期解。与传统的步进式积分器不同，我们的交替数值程序通过直接求解瞬时位置和相位角来消除相位滞后累积。理论上，在计算资源充足的情况下，相位误差可以任意减小，且与总积分时间无关。我们的算法将 Nash-Moser 迭代转化为实用的数值框架，标志着对传统 Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) 理论的重大突破。虽然 KAM 理论提供了严格的存在性证明，但其对全局 Diophantine 条件和共振集完全排除的要求使其在数值上难以实现。通过采用“逐步”排除过程并逐步增大维数，我们的算法在局部解决了无理条件问题。这种方法表明，“数值无理问题”并非计算的内在障碍，为基于全局 KAM 方法的不可执行性提供了一种建设性的、可执行的替代方案。