流形上平行传输阶梯格式的 Numerical Accuracy

平行传输是在黎曼流形上执行统计的基础工具。由于一般不存在闭式公式，实践者常不得不求助于数值格式。阶梯方法是一类流行的算法，依赖于测地平行四边形迭代构造。然而，文献中缺乏对其收敛性能的清晰分析。本文中，我们给出Schild阶梯与极点阶梯的基本构造相对于底层空间黎曼曲率的泰勒近似。随后我们证明，即便测地线由数值格式近似，这些方法也可迭代并以二次速度收敛。我们还建立了Schild阶梯与Fanning格式之间的新联系，解释了后者为何自然仅线性收敛。因此，阶梯方法的额外计算成本很容易被达到所需精度所需步数的大幅减少所补偿。在2-球面、对称正定矩阵空间与特殊欧氏群上的示例表明，我们所建立的理论误差在实践中被高精度地测得。具有各向异性左不变度量的特殊欧氏群尤为有趣，因为它是一般非对称空间的一个易处理例子，并在特定情况下退化为黎曼对称空间。作为次要贡献，我们计算了该空间中曲率的协变导数。