Numerical accuracy of Bogomolny's semiclassical quantization scheme in quantum billiards

我们采用 Bogomolny 的半经典量子化方案来计算 Lima\c con 量子 billiard 的本征值。该 billiard 对应于圆形 billiard 的一个保形映射。我们将整个 billiard 边界作为选取的分段曲线（surface of section, SOS），并在坐标空间中使用有限近似来表示传递算子。对该矩阵本征值的计算结合量子化条件，确定了一组半经典本征值，这些本征值与通过求解薛定谔方程得到的本征值进行了比较。该 billiard 系统的经典动力学经历了从可积（圆形）到完全混沌运动的平滑过渡，因此为以波函数形态为依据，检验 Bogomolny 半经典方法在坐标空间中的有效性提供了测试。我们分析了 exhibiting 软混沌和硬混沌的 billiard 的结果。