蘑菇 billiard 中的量子混沌与半经典行为 I：谱统计

我们研究了 Bunimovich 引入的蘑菇 billiard 中的量子混沌方面。该系列 billiard 在经典意义上具有混合相空间特性，恰好有一个完全规则的和一个完全混沌（ergodic）组成部分，其大小取决于茎的宽度 $w$，且具有两个极限几何形状，即圆（作为可积系统）和圆筒（作为完全混沌系统）。因此，这一单参数系统是研究量子对应物半经典行为的理想选择。在本论文第一部分，我们作为函数 $w$ 的几何形状以及作为波数 $k$ 的半经典参数来研究谱统计。我们证明在足够大的 $k$ 下，间隔分布 excellently 描述为 Berry-Robnik（BR）分布（无需拟合）。在较小的 $k$ 下，与其之间的小偏差可由 Berry-Robnik-Brody（BRB）分布很好地描述，该分布捕捉了 Poincaré-Husimi 函数中弱动力学局域化效应。我们还采用最近由 Yan (2025) 获得的混合类型系统水平间隔比率分布 $P(r)$ 的解析理论，这一理论无需谱展开程序，结果在 $k$ 较大的半经典极限下与数值实验取得了优异的一致性。在论文第二部分中，我们将通过 Poincaré-Husimi 函数对本征态进行分析。