怪物李代数分母公式的数论推广

怪物李代数的分母公式是模函数 $j(z)-j(\tau)$ 关于 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$-模函数 $j_n(\tau)$ 的 Hecke 系统的乘积展开。该公式可以完全从数论角度重新表述。即，它等价于将 $j_n(z)$ 的生成函数描述为关于 $\tau$ 的权为 2 的模形式，且在 $z$ 处有一个极点。尽管这些结果依赖于 $X_0(1)$ 的亏格为 0 这一事实，但本文得到了针对所有 $X_0(N)$ 模曲线的推广，其框架采用极调和 Maass 形式。在本综述中，我们讨论这一推广，并介绍极调和 Maass 形式的理论。最后给出了对 Ramanujan 公式和 Green 函数的应用。