球面上随机交图中边的数量

本文考虑均匀分布在单位球面上的 $N$ 个面积为 $4\pi p$ 的球冠。我们研究由这些球冠构造的随机交图 $G_N$。我们证明，对于 $p = \frac{c}{N^{\al}},\:c >0$ 且 $\al >2$，图 $G_N$ 中的边数服从泊松分布。我们还推导了 $G_N$ 中孤立顶点数的强大数定律结果：对于 $p = \frac{c}{N^{\al}},\:c >0$ 且 $\al < 1$，$G_N$ 中几乎必然没有孤立顶点，即 $G_N$ 中至少有 $N/2$ 条边；而对于 $\al >3$，$G_N$ 中的每个顶点都是孤立的，即边集 $\cE_N$ 中没有边。