高阶张量的核范数

我们建立了高阶张量核范数的若干数学与计算性质。我们证明，与张量秩类似，张量核范数依赖于基域的选择——一个实 3-张量的核范数值取决于我们将其视为实 3-张量还是具有实元素的复 3-张量。我们证明每个张量都有一个核范数可达分解，且每个对称张量都有一个对称核范数可达分解。存在一个相应的核秩概念，与张量秩不同，它是上半连续的。我们建立了张量谱范数的 Banach 定理类比和张量秩的 Comon 猜想类比——对于对称张量，其对称核范数总是等于其核范数。我们证明计算张量核范数在多种意义下是 NP-难的。判定 3-张量核范数单位球的弱隶属关系是 NP-难的，寻找 3-张量核范数的 ε-近似同样是 NP-难的。此外，计算 4-张量的谱范数或核范数问题是 NP-难的，即使我们将 4-张量限制为双 Hermite、双对称、半正定、非负值或满足以上所有条件。我们讨论了一些简单的多项式时间近似界。作为附带，我们证明矩阵的核 (p,q)-范数在一般情况下是 NP-难的，但当 p=1、q=1 或 p=q=2 时可在多项式时间内计算，并给出了核 (1,q)- 和 (p,1)-范数的闭式表达式。