基于 4 次 SOS 的随机过完备张量的精确核范数、补全与分解

在本文中，我们表明受 4 次 SOS 启发的简单半定规划可以精确求解具有随机非对称分量的张量的张量核范数、张量分解与张量补全问题。更确切地说，对于张量核范数与张量分解，我们证明以高概率 (w.h.p.) 这些半定规划可以精确找到具有 $m\leq n^{3/2}/polylog(n)$ 个随机非对称分量的 $(n\times n\times n)$ 张量 $\mathcal{T}$ 的核范数与分量。与大多数先前的算法不同，我们的算法为分解提供证书，不需要知道分解中分量的数量，也不对分解中系数的大小作任何假设。作为副产品，我们证明对于具有 $m\leq n^{3/2}/polylog(n)$ 个随机非对称分量的张量，以高概率核范数分解精确等同于最小秩分解。对于张量补全，我们证明由 Potechin & Steurer (2017) 为具有正交分量的张量引入的半定规划，可以仅从 $n^{3/2}m polylog(n)$ 个随机观测条目中以高概率精确恢复具有 $m$ 个随机非对称分量的 $(n\times n\times n)$ 张量 $\mathcal{T}$。对于非正交张量，这相比所有先前已知算法改善了对精确恢复所需条目数关于 $m$ 的依赖，并提供了过完备情形下精确张量补全的首个理论保证。