关于 ISE 密度及一类相关扩散的注记

积分超布朗漂移（ISE）是具有寿命过程为归一化布朗漂移的布朗蛇的空间分量头部的占据测度。它是 $\mathbb{R}$ 上的一个随机概率测度，并且已知描述了各种随机离散标号树模型中标号分布的连续统极限。我们证明，其（随机）密度 $f_{ISE}$ 几乎必然具有导数 $f'_{ISE}$，该导数连续且对任意 $a >0$ 为 $\left(\frac{1}{2}-a\right)$-Hölder 的，但对任何 $a<0$ 则不是（证明了 Bousquet-Mélou 和 Janson 的一个猜想）。我们猜想 $f_{ISE}$ 可表示为如下形式的二阶扩散：$$df'_{ISE}(t) = \sqrt{2f_{ISE}(t)}\, dB_t + g\left(f'_{ISE}(t), f_{ISE}(t),\int_{-\infty}^t f_{ISE}(s)ds\right)dt,$$ 对某个连续函数 $g$，当 $t>0$ 时成立，并给出了该方向上的若干评注与问题。正则性的证明基于来自树的离散模型的矩估计，而该扩散的启发式来源于离散情形下的类似结论，后者是 Bousquet-Mélou 与第一作者（2012）显式乘积公式的重新表述。