真空的归一化与爱因斯坦引力的紫外完备

二阶导加四阶导引力是二阶导量子爱因斯坦引力的紫外完备。虽然它通过负狄拉克范态实现了可重整化，但这种做法所导致的幺正性破坏可被推迟到普朗克能量。正如我们在本文中所展示的，该理论存在一个不同的问题，它出现在所有能量尺度上，即该理论的真空的狄拉克范数不是有限的。为确立这一点，我们给出了一个确定任意量子场论中真空范数的步骤。由于二阶导加四阶导理论的真空的狄拉克范数非有限，用于确立可重整化的费曼规则无效，该理论可作为远低于普朗克尺度能量的有效理论的假设也无效。这种非有限性也体现在该理论的闵可夫斯基路径积分是发散的。由于真空狄拉克范数非有限，该理论的哈密顿量不是厄米的。然而，它事实上是 $PT$ 对称的。当将理论延拓到复平面并使用 $PT$ 对称内积（即哈密顿量左本征态与其右本征态的重叠）时，人们会发现对于真空该范数既有限又为正，费曼规则现在有效，闵可夫斯基路径积分现在表现良好，且该理论现在可作为低能有效理论。因此，该理论现在可被视为一个完全自洽、幺正且可重整的量子引力理论。