非线性分段多项式逼近与Wiener--L.~Young型多元$BV$空间. I

所述空间记为$V_{pq}^k$，由$[0,1)^d$上阶$k\in\mathbb N$的$p$-变分有界的$L_q$函数组成。它推广了经典空间$V_p(0,1)$($=V_{p\infty}^1$)与$BV([0,1)^d)$($V_{1q}^1$其中$q:=\frac d{d-1}$)，并密切联系若干重要光滑空间，例如$L_p$上的Sobolev空间、$BV$与$BMO$以及Besov空间。主要逼近结果关于光滑度$s:=d\left(\frac1p-\frac1q\right)\in(0,k]$。它断言如下：设$f\in V_{pq}^k$具有光滑度$s\in(0,k]$且$N\in\mathbb N$，存在$[0,1)^d$的$N$个二进子立方体族$\Delta_N$以及其上次数$k-1$的分段多项式$g_N$，使得$$\|f-g_N\|_q\leqslant CN^{-s/d}|f|_{V_{pq}^k}.$$这隐含了上述光滑空间的类似结果，特别地，解决了可追溯至1967年Birman--Solomyak论文\cite{BS}的当$\frac kd=\frac1p-\frac1q$且$q<\infty$时从$W_p^k([0,1)^d)$在$L_q([0,1)^d)$中逼近函数的问题。