具有调制色散的非线性偏微分方程 II：Korteweg--de Vries 方程

（由于 arXiv 对摘要字符数的限制，完整摘要无法在此显示。请参阅论文中的摘要。）我们研究了在线性色散项上作用有时间非均匀调制的色散方程。作为主要模型，我们考虑了 Korteweg-de Vries 方程（KdV）以及相关方程，如 Benjamin-Ono 方程（BO）和中间长波方程（ILW），并对时间非均匀调制施加了某些不规则性条件。在本工作中，我们在三个方面建立了称为“噪声正则化”的现象：(i) 当调制足够不规则时，我们证明了在（未调制的）KdV 方程已知为不适定的机制下，圆上和实线上的调制 KdV 方程是局部适定的。特别地，对于任意 $s \in \mathbb R$，我们证明了具有足够不规则调制的圆上调制 KdV 方程在 $H^s(\mathbb T)$ 中是局部适定的。此外，通过将 $I$-方法适配于当前的调制设定，我们证明了调制 KdV 方程在负 Sobolev 空间中的全局适定性。(ii) 已知某些（半线性）色散方程（如 BO 和 ILW）表现出拟线性性质。我们证明了足够不规则的调制通过建立其局部适定性（通过压缩论证）并提供解映射的局部 Lipschitz 连续性，使得这些方程的调制版本成为半线性的。(iii) 我们还证明了这些调制方程的非线性平滑效应，其中我们表明非线性部分的正则性增益对于更不规则的调制变得（任意）更大。作为我们方法的应用，我们还包含了进一步的例子。