离散复分析中的非线性 $O(3)$ sigma 模型

我们给出了 Belavin 和 Polyakov 所研究的二维非线性 $O(3)$ sigma 模型的离散版本。我们通过 Mercat 的离散复分析及其由 Bobenko 和 Günter 给出的详述来表述该模型。我们在平面四边形图上定义了加权离散狄利克雷能量与面积，并推导了它们之间的一个不等式。我们用 $f$ 表示由模型的单元向量场得到的复函数。该不等式当且仅当 $f$ 为离散（反）全纯时取等号。通过使用由球面 $S^2$ 的某种平铺得到的权重 $W$，加权离散面积 ${\cal A}^{W}_{\diamondsuit}(f)$ 具有几何解释，即对于拓扑量子数 $N \in \pi_2(S^2)$ 有 ${\cal A}^{W}_{\diamondsuit}(f)=4 \pi N$。这保证了由 $f$ 描述的解的拓扑稳定性，并且我们有量子化能量 $E^{W}_{\diamondsuit}(f)=|{\cal A}^{W}_{\diamondsuit}(f)|=4 \pi |N|$。对于具有正交对角线的四边形图，我们证明了离散（反）全纯函数 $f$ 满足由加权离散狄利克雷能量导出的欧拉-拉格朗日方程。在某些菱形晶格上，离散幂函数 $z^{(N)}$ 给出拓扑量子数 $N$。此外，当晶格间距趋于零时，加权离散狄利克雷能量、面积以及欧拉-拉格朗日方程趋于其连续形式。