与拟正则映射相关的非线性Dirichlet形式

若 $({\cal E}, {\cal D})$ 是 $L^2 (X,m)$ 上的对称、正则、强局部 Dirichlet 形式，容许 carr\'{e} du champ 算子 $\Gamma$，且 $p>1$ 为实数，则可通过公式 $${\cal E}^p(u,v) = \int_{X} \Gamma(u)^\frac{p-2}{2} \Gamma(u,v)dm ,$$ 定义非线性形式 ${\cal E}^p$，其中 $u$、$v$ 属于域 ${\cal D}$ 的适当子空间。我们证明 ${\cal E}^p$ 是 P. van Beusekom 引入意义下的非线性 Dirichlet 形式。随后我们构造了相应的 Choquet 容量。作为特例，我们得到了 $W_0^{1,p}$ 上 $p$-Laplace 算子相关的非线性形式。利用上述过程，对每个 $n$ 维拟正则映射 $f$，我们构造非线性 Dirichlet 形式 ${\cal E}^n$（$p=n$），使得 $f$ 的分量成为关于 ${\cal E}^n$ 的调和函数。最后，对于关于形式 ${\cal E}^p$ 的调和函数，我们在由 ${\cal E}$ 诱导的内在度量下获得了 Caccioppoli 型不等式。