相空间中共轭磁场诱导的位形空间非对易性

众所周知，耦合到量子动力学的位形空间中的外部磁场会诱导其速度动量空间中的非对易性。根据相空间对偶性，系统共轭动量部分的外部矢势会诱导其位形空间中的非对易性。本文针对任意欧几里得几何的位形空间，探讨了这种非对易性的原理。首先回顾了具有对易位形空间的普通量子力学。通过引入任意正定 $*$-积，确定了抽象量子态的希尔伯特空间与位置量子算符的包络代数的希尔伯特空间之间的一一对应关系。随后，当位形空间非对易时，进行了平行的讨论，并在共轭磁场与动量无关且非退化的情况下进行了彻底分析。量子态的空间再次可以与非对易位置量子算符的包络代数等同起来。此外，当正定 $*$-积的选择与决定坐标算符对易子代数的共轭磁场的值一致时，这些算符张成一个 Fock 代数，其正则相干态是相关对易位形空间几何中尖锐且无结构的局部点的局域化非对易量子类比。这些结果在正则量子化的背景下推广并后验地证明了由 F. G. Scholtz 及其合作者构建和发展的非对易欧几里得平面中量子力学的启发式方法。