树状图上 Ising 模型图形表示的相变非唯一性

我们考虑树状图上 Ising 模型的图形表示。我们构造了一类图，在其上 loop $\mathrm{O}(1)$ 模型和单随机流关于逆温度表现出非唯一的相变，突显了这两个模型的非单调性。由该构造可知，存在无限图 $\mathbb{G}\subseteq \mathbb{G}'$，使得 $\mathbb{G}'$ 的一致偶子图具有渗透性，而 $\mathbb{G}$ 的一致偶子图则不具有。我们还证明，在有线的 $d$-正则树上，loop $\mathrm{O}(1)$ 模型、单随机流和随机团模型的相变都是唯一的且相互重合。