Teichmüller 空间上能量的非严格多次调和性

对于不可约表示 $\rho:\pi_1(\Sigma_g)\to\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$，存在一个能量泛函 $\mathrm{E}_\rho:\mathcal{T}_g\to\mathbb{R}$，它通过取关联到对称空间 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})/\mathrm{U}(n)$ 的等变调和映射的能量在 Teichmüller 空间上定义。由 Toledo 的一个结果可知，$\mathrm{E}_\rho$ 是多次调和的，即其 Levi 形式是半正定的。我们研究该 Levi 形式的核，并将其与 Higgs 丛模空间上的 $\mathbb{C}^*$ 作用联系起来。我们还证明，在 $\mathcal{T}_g$ 中严格多次调和性失效的点（即该核非零）是 Hitchin 纤维化下的临界点。当 $n\geq 2$ 且 $g\geq 3$ 时，我们证明对一般的选取 $(S,\rho)$，映射 $\mathrm{E}_\rho$ 是严格多次调和的。我们也描述了 $n=1$ 时 Levi 形式的核。