具有非线性 Feynman-Kac 代价的非标准随机控制
最优化与控制
2023-12-05 v1 概率论
摘要
本文考虑 P.L. Lions 于 2016 年 11 月在法兰西公学院所作讲座中提出的条件控制问题。在其讲座中,Lions 强调了与经典随机最优控制问题分析的一些重大差异,并由此提出了关于在 Markov 控制类与一般开环控制族上进行优化所得到值函数之间可能差异的问题。本文的目标是阐明这一难题,并为 Lions 最初的猜想提供若干解答。首先,我们通过描述一个来自进化生物学的实际模型,论证条件控制问题数学表述的合理性。接着,我们通过引入"软"(soft)消亡以替代硬消亡来放宽原有问题,并利用"模仿"(mimicking)论证,将开环优化问题约化为针对特定反馈控制类的优化。在证明最优反馈控制函数的存在性之后,我们证明了一个叠加原理,从而将原随机控制问题重新表述为关于概率 Gibbs 测度动力系统的确定性控制问题。随后,我们以平均场博弈(MFG)系统的精神,通过耦合非线性偏微分方程(PDE)的前向-后向系统来刻画解。由此,我们识别出一个公共最优子,证明了值函数相等的猜想。最后,我们通过具有说服力的数值实验对结果加以说明。
引用
@article{arxiv.2312.00908,
title = {Non-standard Stochastic Control with Nonlinear Feynman-Kac Costs},
author = {Rene Carmona and Mathieu Lauriere and Pierre-Louis Lions},
journal= {arXiv preprint arXiv:2312.00908},
year = {2023}
}
备注
64 pages, 2 figures