基于二阶 Sobolev 训练的非侵入性高阶降阶——物理增强神经网络

有限元方法是工程中的必不可少的工具，但其计算复杂度阻碍了控制或系统级的应用。模型序降 (model order reduction) 填补了这一差距，创建高度高效 yet 准确的替代模型。降低非线性情形的复杂度还需要高阶降阶。与商业有限元软件兼容要求基于数据的非侵入方法。方法包括轨迹分段线性方法或通过神经网络进行的回归。这些方法的重要方面包括准确性、效率、泛化能力，以及包括所需物理和数学属性的外推能力。特别是后两个方面对神经网络而言是具有挑战性的。因此，多个研究调查了如何包含物理知识或可取性质。来自 constitutive modeling 的一个有前景的方法是物理增强神经网络。这个概念已被 Fleres 等人于 2025 年优雅地转移到高阶降阶中，并保证了多个可取性质，包含物理、可包括参数，并产生较小的体系结构。我们通过二阶 Sobolev 训练来增强这一工作，即使用函数及其前两个导数。这些在实践中可获得且有望提升性能。进一步提出了若干修改并加以研究。尽管 Sobolev 训练未能达到预期，但若干小修改可提高准确性，提升一个数量级。最终，我们的最佳模型与参考工作以及轨迹分段线性方法进行了比较。比较依赖于参考工作使用的相同数值案例研究，并额外强调由于其在典型应用中的关键作用而进行外推。我们的结果表明，物理增强神经网络在外推方面会快速发散，从而防止其部署。