具有与文法无关字母表的非擦除 Chomsky-Schützenberger 定理

Chomsky 与 Schützenberger 的著名定理（CST）指出，字母表 $\Sigma$ 上的每个上下文无关语言 $L$ 都可表示为 $h(D \cap R)$，其中 $D$ 是括号集合 $\Omega$ 上的 Dyck 语言，$R$ 是局部语言，$h$ 是擦除无界多个符号的字母同态。Berstel 发现，若文法处于 Greibach 范式，则擦除次数可线性受限；Berstel 与 Boasson（以及后来独立工作的 Okhotin）证明了针对双 Greibach 范式文法的 CST 非擦除变体。然而，在所有这些 CST 表述中，Dyck 字母表 $\Omega$ 的大小都依赖于 $L$ 的文法大小。在 CST 的 Stanley 变体中，$|\Omega|$ 仅依赖于 $|\Sigma|$ 而不依赖于文法，但同态擦除的符号远多于其他 CST 版本；此外，正则语言 $R$ 是严格局部可测试的而非局部的。我们证明了一个新的 CST 版本，它同时具备非擦除与使用与文法无关字母表这两个特征。在我们的构造中，$|\Omega|$ 是 $|\Sigma|$ 的多项式，即 $O(|\Sigma|^{46})$，且正则语言 $R$ 是严格局部可测试的。利用近期 Medvedev 正则语言同态刻画的一个推广，我们证明对于双 Greibach 范式下的线性文法，$|\Omega|$ 对 $|\Sigma|$ 的多项式依赖次数可降低至仅为 2。