两种上下文无关语言交集的剖分能力

我们称语言 $L$ 是\emph{常增长}的，如果存在常数 $c$，使得对每个词 $u\in L$ 都存在词 $v\in L$ 满足 $\vert u\vert<\vert v\vert\leq c+\vert u\vert$。我们称语言 $L$ 是\emph{几何增长}的，如果存在常数 $c$，使得对每个词 $u\in L$ 都存在词 $v\in L$ 满足 $\vert u\vert<\vert v\vert\leq c\vert u\vert$。给定两个无限语言 $L_1,L_2$，若 $\vert L_2\setminus L_1\vert=\infty$ 且 $\vert L_1\cap L_2\vert=\infty$，则称 $L_1$ \emph{剖分} $L_2$。2013年有研究表明，对每个常增长语言 $L$，存在一个正则语言 $R$ 使得 $R$ 剖分 $L$。本文中我们展示如何用两种上下文无关语言交集的同态像来剖分几何增长语言。考虑三个字母表 $\Gamma$、$\Sigma$ 和 $\Theta$，满足 $\vert \Sigma\vert=1$ 且 $\vert \Theta\vert=4$。我们证明存在上下文无关语言 $M_1,M_2\subseteq \Theta^*$、一个擦除字母同态 $\pi:\Theta^*\rightarrow \Sigma^*$ 以及一个非擦除字母同态 $\varphi : \Gamma^*\rightarrow \Sigma^*$，使得：若 $L\subseteq \Gamma^*$ 是几何增长语言，则存在正则语言 $R\subseteq \Theta^*$ 使得 $\varphi^{-1}\left(\pi\left(R\cap M_1\cap M_2\right)\right)$ 剖分语言 $L$。