球域上广义屈曲问题特征函数的节点性质

本文研究源于液体基底上薄膜屈曲的如下四阶特征值问题：\begin{equation*} \begin{cases} \Delta^2 u+ \kappa^2 u=-\lambda \Delta u &\text{in } B_1,\newline u=\partial_r u= 0 &\text{on } \partial B_1, \end{cases} \end{equation*}其中 $B_1$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的单位球。当 $\kappa > 0$ 较小时，我们证明了第一特征值是单重的，且给出小位移下薄膜形状的第一特征函数为正。然而，随着 $\kappa$ 增大，我们确立了第一特征值并不总是单重的，且第一特征函数可能会变号。更确切地说，对于任意 $\kappa \in (0,+\infty)$，我们给出了第一特征值的确切重数以及第一特征函数的节点区域数量。