圆的新意义

找到了平面点集轨迹为圆的新的条件。证明：若点到固定正n边形顶点的距离之(2m)次幂和$S_n^{(2m)}$为常数，且$$S_n^{(2m)}>nr^{2m},\ {\rm where}\ m=1,2,\dots,n-1$$（其中r为正n边形中心到顶点的距离），则该点集轨迹为圆。半径$\ell$满足：$$S_n^{(2m)}=n\Bigg[(r^2+\ell^2)^m+\sum_{k=1}^{[\frac{m}{2}]} {m\choose 2k} (r^2+\ell^2)^{m-2k}(r\ell)^{2k} {2k\choose m}\Bigg].$$