Strichartz 极值子的神经发现

Strichartz 不等式是现代色散偏微分方程理论的基石，但其极值子仅在少数几个最佳情形中被显式知晓。底层泛函的非凸性使该问题十分困难，且据我们所知，尚未有人尝试过系统的数值求解。我们提出一种简单的基于神经网络的流水线，通过搜索 Strichartz 比率的临界点来寻找极值子，并将其应用于三种情形。首先，在 Schrödinger 群上，我们在无解析先验的情况下，以 $10^{-3}$ 的相对误差恢复了 Foschi 和 Hundertmark--Zharnitsky 在 $d=1,2$ 维中的高斯极值子。其次，在 $d=1$ 中答案尚属猜想的另外 $59$ 个容许对上，该方法一致地找到了高斯解，支持了高斯是容许范围内通用极值子的猜想。第三，在 $\gamma=1/q$ 的临界 Airy--Strichartz 不等式（其存在性尚未解决）上，优化未收敛至任何 $L^2$ 轮廓：相反，迭代点自组织为内部频率 $\alpha$ 不断增大的 mKdV 呼吸子 $B(0,\cdot;\alpha,1,0,0)$，所发现的比率自下方以 $\sim\alpha^{-0.9}$ 的幂律间隙逼近 Frank--Sabin 通用下界 $\widetilde A_{q,r}$。我们用独立的 Hermite 基拟设证实了相同的图景。我们提出一个精确的猜想：上确界等于 $\widetilde A_{q,r}$，并沿呼吸子族逼近但无法达到。因此，该流水线既可作为已知情形的验证器，也可在不存在极值子时作为发现工具。