数值 PDE 稳定神经网络解的先验分析

使用神经网络求解 PDE 的方法近期已成为非常重要的课题。我们基于解的 $\mathcal{K}_1(\mathbb{D})$-范数为此类方法提供先验误差分析。我们表明由此产生的约束优化问题可使用贪心算法高效求解，从而替代随机梯度下降。随后，我们证明由能量积分离散化引起的误差在确定性情形（即使用数值积分）与随机情形（即采样点逼近积分）下均有界。在后一情形中，我们使用 Rademacher 复杂度分析；在前一情形中，我们使用标准数值积分界。这将已有结果推广至使用一般函数字典学习 PDE 解的方法，且重要的是给出了一致的分析，纳入了问题的优化、逼近与泛化方面。此外，Rademacher 复杂度分析被简化与推广，从而可应用于广泛的问题。