神经 PDE 求解器的严格误差认证：从经验残差到解的保证
机器学习
2026-03-20 v1 偏微分方程分析
泛函分析
摘要
部分微分方程的不确定性量化传统上基于离散化理论，在该理论下，通过网格/网格细化来控制解的误差。物理信息神经网络（PINN） fundamentally 偏离了这一范式：它们通过在 collocation 点处最小化残差损失来逼近解，引入了源于优化、抽样、表示和过拟合的新型误差来源。因此，解空间中的概 GENERALIZATION 误差仍是一个开放问题。我们的主要理论贡献建立了残差控制与解空间误差之间的概 GENERALIZATION 界限。我们证明，当神经近似值位于解空间的紧凑子集中时，残差误差消失保证收敛于真实解。我们推导确定性和概率收敛结果，提供了经过认证的概 GENERALIZATION 界限，将残差、边界和初始误差转化为显式的解误差保证。
引用
@article{arxiv.2603.19165,
title = {Rigorous Error Certification for Neural PDE Solvers: From Empirical Residuals to Solution Guarantees},
author = {Amartya Mukherjee and Maxwell Fitzsimmons and David C. Del Rey Fernández and Jun Liu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.19165},
year = {2026}
}
备注
35 pages