线性映射马尔可夫可除性的必要条件

刻画对应于马尔可夫时间演化的量子信道是量子信息论中的一个开放问题，甚至存在不同的量子马尔可夫性概念。其中一个概念是 arXiv:math-ph/0611057 中引入的量子信道的无穷小马尔可夫可除性。尽管对无穷小马尔可夫可除的量子比特信道已有完整刻画，但对更高维情形，除行列式非负性的必要性外，尚无已知的必要或充分条件。我们描述了如何将无穷小马尔可夫可除性的概念推广到一般线性映射以及生成元的闭凸集。我们给出了一种证明（无穷小）马尔可夫可除性必要条件的一般方法，该方法涉及线性映射的奇异值。利用此方法，我们证明了任意有限维 $d$ 下量子信道无穷小可除性的两个必要条件：以最小奇异值的 $\Theta(d)$ 次幂表示的行列式上界，以及以 $\Theta(d)$ 个最小奇异值的乘积表示的行列式上界。我们的判据使我们能在任意给定维度下解析构造一组信道，其中确含非无穷小马尔可夫可除的信道。我们还讨论了该情形的经典对应，即由转移速率矩阵给出生成元的随机矩阵。此处我们表明，为量子信道所证明的那种形式的无穷小马尔可夫可除性必要条件在一般情况下不成立。然而，我们描述了可应用我们的推理以获得马尔可夫可除性必要条件的转移速率矩阵的子集。