曲线附近亚纯可积性的充分必要条件

考虑一个在代数曲线$\bar{\Gamma}\subset \mathbb{P}^n$邻域内亚纯的向量场$X$，使得$\Gamma$是$X$的一个特解。向量场$X$是$(l,n-l)$可积的，如果存在两两交换的向量场$Y_1,\dots,Y_{l-1},X$以及$n-l$个公共首次积分$F_1,\dots,F_{n-l}$。Ayoul-Zung定理给出了$X$在$\Gamma$邻域内亚纯可积性的Galois群必要条件。反之，如果这些条件满足，我们证明如果第一法向变分方程$NVE_1$具有几乎对角的单值群$Mon(NVE_1)$且满足非共振和Diophantine性质，则$X$在$\Gamma$邻域的有限覆盖上是亚纯可积的。然后我们在放松非共振条件但增加一个额外的Galois条件（最终由之前的非共振假设蕴含）的情况下证明了相同结论。使用相同策略，我们证明了一个关于时间相关向量场$X$（满足$X(0)=0\;\forall t$）在0附近的线性化结果。